Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形BDFE所在的平面互相垂直，AC交BD于O點，M為EF的中點，BC=

2

，BF=1
（Ⅰ）求證：BC⊥AF：
（Ⅱ）求證：BM∥平面ACE；
（Ⅲ）求二面角B-AF-C的大小．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得FB⊥平面ABCD，所以FB⊥BC，由正方形性質得BC⊥AB，從而得到BC⊥面ABF，由此能證明BC⊥AF．
（Ⅱ）連結EO，由已知得BMEO是平行四邊形，由此能證明BM∥平面ACE．
（Ⅲ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-AF-C的大小．

解答： （Ⅰ）證明：∵正方形ABCD和矩形BDFE所在的平面互相垂直，
∴FB⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，∴FB⊥BC，
∵ABCD是正方形，∴BC⊥AB，
∵AB∩FB=B，∴BC⊥面ABF，
∵AF?平面ABF，∴BC⊥AF．
（Ⅱ）證明：連結EO，
∵AC交BD于O點，M為EF的中點，
∴BM

∥

.

BO，∴BMEO是平行四邊形，
∴OE∥BM，
又BM不包含于平面ACE，OE?平面ACE，
∴BM∥平面ACE．
（Ⅲ）解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，
建立空間直角坐標系，
B（

2

，

2

，0），A（

2

，0，0），F（

2

，

2

，1），C（0，

2

，0），

AB

=(0，

2

，0)，

AF

=(0，

2

，1)，

AC

=（-

2

，

2

，0），
設平面CAF的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AC =- 2 x+ 2 y=0 n • AF = 2 y+z=0

，取x=

2

，得

n

=(

2

，

2

，-2)，
又平面ABF的法向量

m

=(1，0，0)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

2

8

=

1

2

，∴＜

n

，

m

＞=60°，
∴二面角B-AF-C的平面角為60°．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．