Question

已知定點(diǎn)A（4，2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是線段OA的垂直平分線上一點(diǎn)，若∠OPA≥60°，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩直線的夾角與到角問(wèn)題

專題：直線與圓

分析：根據(jù)條件求出線段OA的垂直平分線方程，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知OP=AP，然后根據(jù)∠OPA≥60°，確定點(diǎn)P滿足的條件，即可求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答： 解：∵定點(diǎn)A（4，2），
∴線段OA的中點(diǎn)C（2，1），OA的斜率k=

1

2

，OC=

22+1

=

5

，
則線段OA的垂直平分線CP的方程為y-1=-2（x-2），即y=-2x+5，
∵△OPA為等腰三角形，
∴∠OPC=

1

2

∠OPA，
∵∠OPA≥60°，∴∠OPC≥30°，
∵sin∠OPC=

OC

OP

=

5

OP

≥sin30°=

1

2

∴OP≤2

5

，
設(shè)P（x，y），
則OP=

x2+y2

≤2

5

，
即x²+y²≤20，
又y=-2x+5，
∴x²+（-2x+5）²≤20，
即5x²-20x+25≤20，
∴5x²-20x+5≤0，即x²-4x+1≤0，
解得

4- 42-4

2

≤x≤

4+ 42-4

2

，
即

4- 12

2

≤x≤

4+ 12

2

，
∴2-

3

≤x≤2+

3

，
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為[2-

3

，2+

3

]，
故答案為：[2-

3

，2+

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線位置關(guān)系的應(yīng)用，將條件轉(zhuǎn)化為不等式，利用不等式的性質(zhì)解不等式是解決本題 的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．