Question

已知四面體P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=

1

2

AB．Q是PC上的一點．
（1）求證：平面PAD⊥面PBD；
（2）當Q在什么位置時，PA∥平面QBD？

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導出AD⊥BD，PB⊥AD，從而得到AD⊥平面PBD，由此能證明平面PAD⊥平面PBD．
（2）當PQ=2QC時，PA∥平面QBD．連結(jié)AC交BD于點O，連接OQ，由已知條件得AO=2OC，所以由AP∥OQ，得到PQ=2QC．

解答： （1）證明：∵∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD=

1

2

AB，
設(shè)BC=1，則AD=BD=

2

，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
又PB⊥平面ABCD．∴PB⊥AD
又因為BD，PB在平面PBD內(nèi)，且BD與PB相交，
∴AD⊥平面PBD
又AD?面PAD，
∴平面PAD⊥平面PBD．…（6分）
（2）解：當PQ=2QC時，PA∥平面QBD．
證明如下，連結(jié)AC交BD于點O，連接OQ，
∵2CD=AB，CD∥AB，∴AO=2OC
過PA的平面PAC∩平面QBD=OQ，
∵PA∥平面QBD，∴AP∥OQ，∴PQ=2QC．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的判斷，考查直線與平面平行時點的位置的確定，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．