Question

已知函數(shù)f（x₀）=|

x

1+x2

-a|+2a+

2

3

，a∈R
（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷函數(shù)t=

x

1+x2

在[0，1]上的單調(diào)性；
（2）若a＞0，求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最大值M（a）．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性，
（2）首先通過換元化簡，分類討論去絕對值號，求最大值．

解答： 解：（1）判斷：函數(shù)t=

x

1+x2

在[0，1]上的單調(diào)遞增．
證明：設(shè)x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，
t（x₁）-t（x₂）=

x1

1+ x 2 1

-

x2

1+ x 2 2

=

x1(1+ x 2 2 )-x2(1+ x 2 1 )

(1+ x 2 1 )(1 +x 2 2 )

=

(x2 -x1)(x1 x2-1)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，
∵x₁，x₂∈[0，1]，
∴x₁＜1，x₂＜1，
∴x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0，
∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴（x₂-x₁）（x₁x₂-1）＜0
∵（1+

x

2 1

）（1+

x

2 2

）＞0，
∴t（x₁）-t（x₂）＜0，即t（x₁）＜t（x₂），
函數(shù)t=

x

1+x2

在[0，1]上的單調(diào)遞增．
（2）由（1）可知函數(shù)t=

x

1+x2

在[0，1]上的單調(diào)遞增，則0≤t≤

1

2

，
則函數(shù)f（t）=|t-a|+2a+

2

3

，
當(dāng)a≥t時，f（t）=a-t+2a+

2

3

=3a+

2

3

-t，t=0取得最大值M（a）=3a+

2

3

，
當(dāng)0＜a＜t時，f（t）=t-a+2a+

2

3

=a+

2

3

-t，t=0取得最大值M（a）=a+

2

3

，
綜上函數(shù)f（x）在[0，1]上的最大值M（a）=

3a+ 2 3 ， a≥t a+ 2 3 ， 0＜a＜t

點評：本題主要考察定義法證明函數(shù)的單調(diào)性以及分類討論的數(shù)學(xué)思想求最值，注意定義法中的符號討論．