Question

8．設函數f（x）=lnx-ax在點A（1，f（1））處的切線為l．
（1）證明：無論a為何值，函數f（x）的圖象恒在直線l的下方（點A除外）；
（2）設點Q（x₀，f（x₀）），當x₀＞1時，直線QA的斜率恒小于2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出切線l的方程，構造函數g（x）=lnx-ax-[（1-a）x-1]=lnx-x，求導數，可得任意x＞0且x≠1，g（x）＜0，即可證明無論a取何值，函數f（x）的圖象恒在直線l的下方（點A除外）；
（2）當x₀＞1時，直線QA的斜率恒小于2?$\frac{ln{x}_{0}-a{x}_{0}+a}{{x}_{0}-1}$＜2對x₀∈（1，+∞）恒成立，可得lnx₀+（-2-a）（x₀-1）＜0對x₀∈（1，+∞）恒成立，分類討論，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（1）證明：f（1）=ln1-a=-a，f′（1）=1-a，
切線l的方程為y+a=（1-a）（x-1），即y=（1-a）x-1，
構造函數g（x）=lnx-ax-[（1-a）x-1]=lnx-x，則g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
解g′（x）=0得x=1．
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上單調遞增，
同理可知，g（x）在（1，+∞）上單調遞減，
∴g（x）在x=1處取到極大值，也是最大值為-1，
∴任意x＞0且x≠1，g（x）≤-1＜0，
∴f（x）＜（1-a）x-1，
即無論a取何值，函數f（x）的圖象恒在直線l的下方（點A除外）；
（2）由A（1，-a）、Q（x₀，lnx₀-ax₀），得k_AQ=$\frac{ln{x}_{0}-a{x}_{0}+a}{{x}_{0}-1}$，
∴當x₀＞1時，直線QA的斜率恒小于2?$\frac{ln{x}_{0}-a{x}_{0}+a}{{x}_{0}-1}$＜2對x₀∈（1，+∞）恒成立．
∴l(xiāng)nx₀+（-2-a）（x₀-1）＜0對x₀∈（1，+∞）恒成立，
令h（x）=lnx+（-2-a）（x-1），（x＞1）．
則h′（x）=$\frac{1}{x}$-2-a，
（�。┊攁≤-2時，由x＞1，知h′（x）＞0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上單調遞增，
∴h（x）＞h（1）=0，不滿足題意的要求．
（ⅱ）當-2＜a＜-1時，
∴當x∈（1，$\frac{1}{2+a}$），h′（x）＞0；當x∈（$\frac{1}{a+2}$，+∞），h′（x₀）＜0，
即h（x）在（1，$\frac{1}{2+a}$）上單調遞增；在（$\frac{1}{2+a}$，+∞）上單調遞減．
所以存在t∈（1，+∞）使得h（t）＞h（1）=0，不滿足題意要求．
（ⅲ）當a≥-1時，0＜$\frac{1}{2+a}$≤1，對于x₀＞1，h′（x₀）＜0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上單調遞減，恒有h（x）＜h（1）=0，滿足題意要求．
綜上所述：當a≥-1時，直線PQ的斜率恒小于2．

點評 本題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、函數與方程思想．