Question

18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知$\frac{a+c}=1-\frac{sinC}{sinA+sinB}$，且$b=5，\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-5$，
（Ⅰ）求△ABC的面積．
（Ⅱ）已知等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，若a₁cosA=1，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，求{$\frac{8}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得b²+c²-a²=bc，由余弦定理得$A=\frac{π}{3}$，由此能求出△ABC的面積．
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的公差為d且d≠0，由a₁cosA=1得a₁=2，由a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，得d=2，從而$\frac{8}{{{a_n}{a_{n+2}}}}=\frac{2}{n（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，由此利用裂項求和法能求出{$\frac{8}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$}的前n項和S_n．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
$\frac{a+c}=1-\frac{sinC}{sinA+sinB}$，且$b=5，\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-5$，
∴由正弦定理得：$\frac{a+c}=1-\frac{c}{a+b}$，即：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理得：$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$，
又∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$，…（3分）
∵且$b=5，\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-5$，即：5acosC=-5，即：$5a\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=-5$，
與$cos\frac{π}{3}=\frac{{25+{c^2}-{a^2}}}{10c}$聯(lián)立解得：c=12，…（5分）
∴△ABC的面積是：$\frac{1}{2}×5×12×sinA=15\sqrt{3}$；…（6分）
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的公差為d且d≠0，由a₁cosA=1，得a₁=2，
又a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，得${a_4}^2={a_2}•{a_8}$，解得d=2…（8分）
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，有a_n+2=2（n+2），
則$\frac{8}{{{a_n}{a_{n+2}}}}=\frac{2}{n（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$…（10分）
∴${S_n}=（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．…（12分）

點評 本題考查三角形面積的求法，考查數(shù)列前n項和的求法，解題時要認真審題，注意正弦定理、余弦定理、裂項求和法的合理運用．