Question

已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象上任一點（x₀，y₀）處的切線方程為y-y₀=（x₀-1）（1-lnx₀）（x-x₀），那么函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（　　）

• A、（1，e）
• B、（-∞，1）∪（e，+∞）
• C、（0，1）∪（e，+∞）
• D、（0，1）和（e，+∞）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題

分析：由題意，可得任一點的導數(shù)為f′（x）=（x-1）（1-lnx），然后由f′（x）＜0，可求單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：因為函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象上任一點（x₀，y₀）處的切線方程為y-y₀=（x₀-1）（1-lnx₀）（x-x₀），
所以函數(shù)在任一點（x₀y₀）的切線斜率為k=（x₀-1）（1-lnx₀），
即知任一點的導數(shù)為f′（x）=（x-1）（1-lnx）．
由f′（x）=（x-1）（1-lnx）＜0，得1＜x＜e，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，e）．
故選：A．

點評：本題的考點是利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，先由切線方程得到切線斜率，進而得到函數(shù)的導數(shù)，然后解導數(shù)不等式，是解決本題的關(guān)鍵．