Question

二項(xiàng)式（2+x）ⁿ的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則展開(kāi)式的第8項(xiàng)的系數(shù)為

 

．（用數(shù)字表示）

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：二項(xiàng)式定理

分析：根據(jù)前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，可得2

C

1 n

•2^n-1=2ⁿ+

C

2 n

2^n-2，由此求得n的值，再根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得展開(kāi)式的第8項(xiàng)的系數(shù)．

解答： 解：∵二項(xiàng)式（2+x）ⁿ的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r n

•2^n-r•x^r，
故展開(kāi)式前三項(xiàng)的系數(shù)分別為 2ⁿ，

C

1 n

•2^n-1，

C

2 n

2^n-2，
再根據(jù)前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，可得2

C

1 n

•2^n-1=2ⁿ+

C

2 n

2^n-2，
化簡(jiǎn)可得 n²-9n+8=8，解得n=8，或n=1（舍去），
故第8項(xiàng)的系數(shù)為 T₇=

C

7 8

•2=16，
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．