Question

20．已知0＜a＜1，在函數(shù)y=log_ax（x≥1）的圖象上有A，B，C三點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是t，t+2，t+4
（Ⅰ）若△ABC面積為S，求S=f（t）；
（Ⅱ）判斷S=f（x）的單調(diào)性，求S=f（t）最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，根據(jù)S=$\frac{1}{2}$|A'C'|•|BD|求得三角形ABC的面積，再運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)函數(shù)式化簡(jiǎn)；
（Ⅱ）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則確定f（t）的單調(diào)性，再求出函數(shù)的最大值．

解答 （Ⅰ）如右所示，設(shè)A'、B'、C'是A、B、C在x軸上的射影，
則A（t，log_at），B（t+2，log_a（t+2）），C（t+4，log_a（t+4）），
設(shè)BB'與AC相交于點(diǎn)D，則可得D（t+2，$\frac{1}{2}$（log_at+log_a（t+4））），
于是S=f（t）=$\frac{1}{2}$|A'C'|•|BD|=$\frac{1}{2}$•4•[$\frac{1}{2}$（log_at+log_a（t+4））-log_a（t+2）]
=2log_a$\frac{\sqrt{t（t+4）}}{t+2}$=log_a$\frac{t^2+4t}{（t+2）^2}$（0＜a＜1，t≥1）；
（Ⅱ）∵x≥1，∴t≥1，∵S=f（t）=log_α$\frac{t^2+4t}{（t+2）^2}$=log_a[1-$\frac{4}{（t+4）^2}$]，
∴當(dāng)t≥1時(shí)，u=（t+2）²是單調(diào)遞增，$\frac{4}{（t+2）^2}$單調(diào)遞增，
∵0＜α＜1，∴S=f（t）在[1，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∵t≥1時(shí)，有$\frac{4}{（t+2）^2}$≤$\frac{4}{9}$，
∴1-$\frac{4}{（t+2）^2}$≥$\frac{5}{9}$，log_α[1-$\frac{4}{（t+4）^2}$]≤$lo{g}_{a}\frac{5}{9}$，
因此，S=f（t）的最大值是log_α$\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及分類討論，數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．