Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C滿(mǎn)足4sin Asin C-2cos （A-C）=1．
（Ⅰ） 求角B的大��；
（Ⅱ） 求sinA+2sinC的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，求出A+C的三角函數(shù)值，即可求角B的大��；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)果，化簡(jiǎn)sinA+2sinC為 A的三角函數(shù)，通過(guò)正弦函數(shù)的值域求出表達(dá)式的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵4sinAsinC-2cos（A-C）=4sinAsinC-2cosAcosC-2sinAsinC
=-2（cosAcosC-sinAsinC），
∴-2cos（A+C）=1，
故cosB=

1

2

．
又0＜B＜π，
∴B=

π

3

．                       …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=

2π

3

-A，
故sinA+2sinC=2sinA+

3

cosA=

7

sin（A+θ），
其中0＜θ＜

π

2

，且sinθ=

21

7

，cosθ=

2 7

7

．tanθ=

3

2

，（θ≈

π

4.4

大約41°）
∵

3

2

∈(

3

3

，1)，∴θ∈(

π

6

，

π

4

)
由0＜A＜

2π

3

知，θ＜A+θ＜

2π

3

+θ，
當(dāng)A+θ=

π

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為：

7

．
當(dāng)sinθ=

21

7

，cosθ=

2 7

7

，A=

2π

3

時(shí)，函數(shù)取得最小值為：2×

3

2

+

3

×(-

1

2

)=

3

2

，
∴sinA+2sinC∈（

3

2

，

7

]．           …（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角變換、三角函數(shù)值域等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力．