Question

已知函數(shù)f（x）=x²•e^ax（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=1時(shí)，求出f（x）在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，得出切線的斜率，由點(diǎn)斜式寫出切線方程；
（Ⅱ）討論a=0、a＞0和a＜0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²•e^x，
f′（x）=（x²+2x）e^x；
∴f′（1）=3e，
又當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=f（1）=e；
∴切線方程為y-e=3e（x-1），
即y=f（x）在點(diǎn)（1，e）處的切線方程為
y=3ex-2e；
（Ⅱ）∵f′（x）=2xe^ax+ax²•e^ax
=（2x+ax²）e^ax，
∴①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=2x，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
∴當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，（0，+∞）上是增函數(shù)；
函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值f（0），且f（0）=0；
②當(dāng)a＞0時(shí)，2x+ax²=0，
解得x=-

2

a

，或x=0；
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表；

∴當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，-

2

a

）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-

2

a

，0）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）在x=-

2

a

處取得極大值f（-

2

a

），且f（-

2

a

）=

x2

e2

=

4

a2e2

；
③當(dāng)a＜0時(shí)，2x+ax²=0，
解得x=0，或x=-

2

a

；
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表；

∴當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，-

2

a

）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-

2

a

，+∞）上是減函數(shù)；
∴f（x）在x=0處取得極小值f（0），且f（0）=0；
f（x）在x=-

2

a

處取得極大值f（-

2

a

），且f（-

2

a

）=

x2

e2

=

4

a2e2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題，也考查了分類討論思想，是綜合題．