已知函數(shù)f（x）=lnx+
a
x+1
（a∈R）．
（1）當a=
9
2
時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的無極值點，求實數(shù)a的取值范圍．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），當a=
9
2
時，f′(x)=
x2-
5
2
x+1
x(x+1)2
=
(x-
1
2
)(x-2)
x(x+1)2
．令f'（x）=0，則x=
1
2
或x=2．列出表格即可得出單調(diào)性．
（2）令g（x）=x2+（2-a）x+1，分類討論：①當△=（2-a）2-4=a2-4a≤0，f'（x）≥0恒成立，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時無極值點；
②當
△＞0
a-2＜0
，方程g（x）=0有兩個不相等的負實根，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時無極值點．
解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=
1
x
-
a
(x+1)2
=
x2+(2-a)x+1
x(x+1)2
，
當a=
9
2
時，f′(x)=
x2-
5
2
x+1
x(x+1)2
=
(x-
1
2
)(x-2)
x(x+1)2
．
令f'（x）=0，則x=
1
2
或x=2．
于是得下表：
x(0，
1
2
)		(
1
2
，2)		（2，+∞）
f'（x）+-+
f（x）單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增
當a=
9
2
時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，
1
2
)，（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為(
1
2
，2)．
（2）令g（x）=x2+（2-a）x+1，
①當△=（2-a）2-4=a2-4a≤0，即0≤a≤4時，f'（x）≥0恒成立，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時無極值點；
②當
△＞0
a-2＜0
即a＜0時，方程x2+（2-a）x+1=0有兩個不相等的負實根，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時無極值點．
綜上可得：實數(shù)a的取值范圍為（-∞，4]．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程實數(shù)解與判別式的關系，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

冬日，某飲料店的日銷售收入y（百元）與當天的平均氣溫x（℃）之間有下列5組樣本數(shù)據(jù)：
x-2-1012
y54221
根據(jù)散點圖可以看出，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關關系，則其回歸方程可能是（　�。�
A、
y
=x+2.6
B、
y
=-x+2.6
C、
y
=x+2.8
D、
y
=-x+2.8

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，
a3
2
，a1成等差數(shù)列，那么
a4+a5
a3+a4
=（　�。�
A、
5
+1
2
B、
5
±1
2
C、
5
-1
2
D、
1±
5
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若橢圓C：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）與直線l：x+y-1=0交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為
2
2
，則
m
n
=（　�。�
A、2
B、
1
2
C、
2
D、
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=
x2-2x-3
的單調(diào)減區(qū)間是（　�。�
A、（-∞，1]
B、[1，+∞）
C、[3，+∞）
D、（-∞，-1]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x2-2x）ekx（k∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）在（-∞，-
2
]和[
2
，+∞）上遞增，在[-
2
，
2
]上遞減．
（Ⅰ）求實數(shù)k的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知0＜α+β＜
π
2
，-
π
2
＜α-β＜
π
3
，求2α，2β，3α-β的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2•eax（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3-ax2+1（a∈R）．
（Ⅰ）若a＞0，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，a2-3）上存在極值，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a＞2，求證：函數(shù)y=f（x）在（0，2）上恰有一個零點．

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