Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

a

x

，g（x）=f（x）-ax+4lnx．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設函數(shù)h（x）=x²-mx+4，當f（x）在x=2處取得極值時，對任意x₁∈[1，2]，總存在x₂∈（1，3），使得h（x₁）≤g（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)的運算法則可得f′（x），再對a分類討論即可得出；
（2）對任意x₁∈[1，2]，總存在x₂∈（1，3），使得h（x₁）≤g（x₂）成立?g（x）_max≥h（x）_max．而h（x）在x∈[1，2]上的最大值為max{h（1），h（2）}，利用導數(shù)可得g（x）_max=g（2），解出即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．
①當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
②當a＞0時，由f′（x）＞0得x＞a，由f′（x）＜0得x＜a．
即f（x）在（a，+∞）上單調遞增，（0，a）上單調遞減． 
（2）由（1）知：f′（x）=

x-a

x2

，
又f（x）在x=2處取得極值，
∴f′（2）=0，即a=2． 
經(jīng)檢驗知，a=2時，f（x）在x=2處取得極值．
則g(x)=f(x)-ax+4lnx=5lnx-2x+

2

x

，
g′(x)=

5

x

-2-

2

x2

=-

(2x-1)(x-2)

x2

．
令g′（x）=0得x=

1

2

或x=2，
當x∈(0，

1

2

)∪（2，+∞）時，g′（x）＜0；當x∈(

1

2

，2)時，g′（x）＞0．
則當x∈（1，3）時，g（x）_max=g（2）=-3+5ln2．
對任意x₁∈[1，2]，總存在x₂∈（1，3），使得h（x₁）≤g（x₂）成立?g（x）_max≥h（x）_max．
而h（x）在x∈[1，2]上的最大值為max{h（1），h（2）}，
則

g(2)≥h(1) g(2)≥h(2)

，即

-3+5ln2≥5-m -3+5ln2≥8-2m

，解得m≥8-5ln2．．
綜上述：滿足條件的m的取值范圍為m≥8-5ln2．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．