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【題目】已知橢圓與y軸的正半軸相交于點M,且橢圓E上相異兩點A、B滿足直線MA,MB的斜率之積為

(Ⅰ)證明直線AB恒過定點,并求定點的坐標;

(Ⅱ)求三角形ABM的面積的最大值.

【答案】(1)直線恒過定點.(2)

【解析】試題分析:利用設而不求思想設出點的坐標,首先考慮 直線斜率不存在的情況,然后研究直線斜率存在的一般情況,設出直線斜截式方程與橢圓方程聯立方程組,代入整理后寫出根與系數關系,根據MA、MB的斜率之積為,代入,解出,得出直線過定點,第二步聯立方程組后利用判別式大于零,求出k的范圍,表示三角形的面積,利用基本不等式求出最值 .

試題解析:

解:(Ⅰ)由橢圓的方程得,上頂點,記 由題意知, ,若直線的斜率不存在,則直線的方程為,故,且,因此,與已知不符,因此直線的斜率存在,設直線 ,代入橢圓的方程得: ………①

因為直線與曲線有公共點,所以方程①有兩個非零不等實根,

所以

, ,

,得

所以

化簡得: ,故,

結合

即直線恒過定點

(Ⅱ)由得: ,

,當且僅當,即 時, 的面積最大,最大值為

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】一條光線從點(﹣2,﹣3)射出,經y軸反射后與圓(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為( 。
A.﹣或﹣
B.﹣或﹣
C.﹣或﹣
D.﹣或﹣

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【題目】某手機賣場對市民進行國產手機認可度的調查,隨機抽取100名市民,按年齡(單位:歲)進行統(tǒng)計的頻數分布表和頻率分布直方圖如圖:

(Ⅰ)求頻率分布表中的值,并補全頻率分布直方圖;

(Ⅱ)在抽取的這100名市民中,按年齡進行分層抽樣,抽取20人參加國產手機用戶體驗問卷調查,現從這20人中隨機選取2人各贈送精美禮品一份,設這2名市民中年齡在內的人數,求的分布列及數學期望.

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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程

以直角坐標系的原點為極點, 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,且兩坐標系有相同的長度單位.已知點的極坐標為 是曲線 上任意一點,點滿足,設點的軌跡為曲線.

(Ⅰ)求曲線的直角坐標方程;

(Ⅱ)若過點的直線的參數方程為參數),且直線與曲線交于, 兩點,求的值.

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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程

已知直線為參數),曲線為參數).

(1)設相交于兩點,求

(2)若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍,縱坐標壓縮為原來的倍,得到曲線,設點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最小值.

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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程

已知直線的極坐標方程為),圓的參數方程為: (其中為參數).

(1)判斷直線與圓的位置關系;

(2)若橢圓的參數方程為為參數),過圓的圓心且與直線垂直的直線與橢圓相交于兩點,求.

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【題目】某校從高二年級學生中隨機抽取60名學生,將其期中考試的政治成績(均為整數)分成六段: , ,…后得到如下頻率分布直方圖.

(1)根據頻率分布直方圖,估計該校高二年級學生期中考試政治成績的中位數(精確到0.1)、眾數、平均數;

(2)用分層抽樣的方法抽取一個容量為20的樣本,求各分數段抽取的人數.

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【題目】如圖,在幾何體ABDCE中,AB=AD,AE⊥平面ABD,M為線段BD的中點,MC∥AE,AE=MC.
(1)求證:平面BCD⊥平面CDE;
(2)若N為線段DE的中點,求證:平面AMN∥平面BEC.

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【題目】如圖所示的是一個幾何體的直觀圖和三視圖(其中正視圖為直角梯形,俯視圖為正方形,側視圖為直角三角形).

(1)求四棱錐P-ABCD的體積;

(2)若G為BC上的動點,求證:AEPG.

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