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【題目】設函數.

（1）若，證明：；

（2）已知，若函數有兩個零點，求實數的取值范圍.

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）當時，利用導數求得函數的最大值，由此證得不等式成立.（2）先求得的表達式，將零點問題轉化為有兩個不相等的實根來解決.顯然是方程的根.當，構造函數，利用導數來求得當有一個不為零的零點時的取值范圍.

證明：（1）當時，，

所以，

所以當時，，此時函數單調遞增；

當時，，此時函數單調遞減.

所以當時，函數有極大值，也為最大值，

所以最大值為，

所以.

（2）因為函數有兩個零點可轉化為有兩個零點，即關于的方程有兩個不相等的實根，

易知0為方程的一個根，此時.

當時，只需有一個不為0的零點即可，

當時，，

故為減函數，

因為 ，，

故在上僅有1個零點，且不為0，滿足題意；

當時，，不合題意；

當時，， ，

，根據零點的存在性定理可知在上至少有1個零點，當時，為負數，故在上也有零點，故不合題意.

綜上，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”.設橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，.

（1）求橢圓及其“準圓”的方程；

（2）若橢圓的“準圓”的一條弦與橢圓交于、兩點，試證明：當時，弦的長為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費政策”.某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費點處記錄了大年初三上午9:20～10:40這一時間段內通過的車輛數，統計發(fā)現這一時間段內共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時間段9:20～9：40記作區(qū)間，9:40～10:00記作，10:00～10:20記作，10:20～10:40記作.比方：10點04分，記作時刻64.

（1）估計這600輛車在9:20～10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）為了對數據進行分析，現采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，記為9:20～10:00之間通過的車輛數，求的分布列與數學期望；

（3）由大數據分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過該收費點的時刻服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9:20～10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:46～10:40之間通過的車輛數（結果保留到整數）.

參考數據：若，則，，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：在左、右焦點分別為，，上頂點為點，若是面積為的等邊三角形.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知，是橢圓上的兩點，且，求使的面積最大時直線的方程（為坐標原點）.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】 在正方體ABCDA1B1C1D1中，若F，G分別是棱AB，CC1的中點，則直線FG與平面A1ACC1所成角的正弦值等于(　　)

A.B.

C.D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形，側棱底面，過作垂直交于點，作垂直交于點，平面交于點，點為上一動點，且，.

（1）試證明不論點在何位置，都有；

（2）求的最小值；

（3）設平面與平面的交線為，求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點在橢圓上，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓的右頂點，點是橢圓上不同的兩點（均異于）且滿足直線與斜率之積為.試判斷直線是否過定點，若是，求出定點坐標，若不是，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數的定義域為.

（1）當時，若函數在區(qū)間上有最大值，求的取值范圍；

（2）求函數的單調區(qū)間.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點，點P為平面上的動點，過點P作直線l：的垂線，垂足為Q，且．

Ⅰ求動點P的軌跡C的方程；

Ⅱ設點P的軌跡C與x軸交于點M，點A，B是軌跡C上異于點M的不同的兩點，且滿足，求的取值范圍．

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