Question

觀察下列各式：

3

（1+

1

3

）＞

5

，

5

（1+

1

5

）＞

7

，

7

（1+

1

7

）＞

9

，

9

（1+

1

9

）＞

11

　…
請(qǐng)你根據(jù)上述特點(diǎn)，提煉出一個(gè)一般性命題，并用分析法加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）,歸納推理

專題：證明題,分析法,推理和證明

分析：1．由

3

，

5

，

7

…想到

2n+1

，由

5

，

7

，

9

…想到

2n+1+2

，根據(jù)奇數(shù)的表示可得一般性的命題；
2．利用分析法對(duì)含有根式的命題進(jìn)行證明，可對(duì)不等式的兩邊平方，化簡(jiǎn)后結(jié)論便非常明顯．

解答： 解：通過(guò)觀察，由奇數(shù)的表示可得一般性命題為：當(dāng)n∈N^*時(shí)，

2n+1

(1+

1

2n+1

)＞

2n+3

．
用分析法證明如下：
要證

2n+1

(1+

1

2n+1

)＞

2n+3

，即證

2n+1

+

1

2n+1

＞

2n+3

，
只需證(

2n+1

+

1

2n+1

)2＞2n+3，
展開并整理得

1

2n+1

＞0，而此式顯然對(duì)n∈N^*恒成立，
所以原不等式成立，
即當(dāng)n∈N^*時(shí)，

2n+1

(1+

1

2n+1

)＞

2n+3

．

點(diǎn)評(píng)：1．本題考查學(xué)生的觀察能力，分析和歸納推理能力．
2．理解分析法：證明不等式時(shí)，當(dāng)不易發(fā)現(xiàn)需用不等式的哪些性質(zhì)或事實(shí)解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，我們常從所求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或明顯成立的事實(shí)，從而得出要證的命題成立，即“執(zhí)果索因”．
3．應(yīng)注意分析法的基本格式：要證…，只要證…，即證…，…，而此式顯然成立，所以原命題成立．