Question

設(shè)不等式組

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）個(gè)數(shù)為f（n）（n∈N^*）
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表達(dá)式；
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和，其中b_n=2^f（n），問(wèn)是否存在正整數(shù)n，t，使

Sn-tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

成立？若存在，求出正整數(shù)n，t；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)定義分別求f（1），f（2）的值及f（n）的表達(dá)式；
（2）求出S_n，解不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f（1）=3，f（2）=6，
當(dāng)x=1時(shí)，y取值為1，2，3，…，2n，共有2n個(gè)格點(diǎn)，
當(dāng)x=2時(shí)，y取值為1，2，3，…，n，共有n個(gè)格點(diǎn)，
∴f（n）=n+2n=3n．
（2）b_n=2^f（n）=2³ⁿ=8ⁿ，為等比數(shù)列，
則S_n=

8(1-8n)

1-8

=

8

7

(8n-1)，
將S_n代入

Sn-tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

，
化簡(jiǎn)得

( 8 7 -t)8n- 8 7

( 8 7 -t)8n- 1 7

＜

1

2

，
當(dāng)t=1，

8n 7 - 8 7

8n 7 - 1 7

＜

1

2

，①，即

8n

7

＜

15

7

，此時(shí)n=1，
當(dāng)t＞1，有（

8

7

-t）8ⁿ-

1

7

＜0，則①式可化為（

8

7

-t）8ⁿ＞

15

7

，不可能成立．
綜上存在正整數(shù)n=1，t=1使

Sn-tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力．