Question

【題目】如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F做x軸的垂線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)若M，N為橢圓上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，且直線的傾斜角互補(bǔ)，問直線MN的斜率是否為定值?若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析:(1) 由題意可知，令，代入橢圓可得，又，解出a,b,可得橢圓方程;(2) 由（1）可知， ，代入橢圓可得，所以， 因?yàn)橹本�的傾斜角互補(bǔ)，所以直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)；設(shè)直線方程為： ，與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)韋達(dá)定理可求出點(diǎn)M的坐標(biāo),同理求出N點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式,代入化簡(jiǎn)可得定值.

試題解析:

（1）由題意可知，

令，代入橢圓可得，所以，又，

兩式聯(lián)立解得： ，

.

（2）由（1）可知， ，代入橢圓可得，所以，

因?yàn)橹本�的傾斜角互補(bǔ)，所以直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)；

可設(shè)直線方程為： ，代入得：

，

設(shè), ,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，

所以， ， ，

又直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代替，可得

， ,

所以直線的斜率，

即直線的斜率為定值，其值為.

點(diǎn)睛: 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長(zhǎng)問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．