Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=5，S₁₅=150．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2an+（-1）ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，求出首項(xiàng)和公式，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）b_n=2an+（-1）ⁿa_n=2ⁿ⁺²+（-1）ⁿ•（n+2），當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T_n═（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺²）+（-3+4）+…+（-n-1+n+2）；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T_n=（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺²）+（-3+4）+…+（-n+n+1）-（n+2），由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=5，S₁₅=150，
∴

15a1+ 15×14 2 d=150 a1+2d=5

，
解得a₁=3，d=1，
∴a_n=3+（n-1）=n+2．
（2）b_n=2an+（-1）ⁿa_n=2ⁿ⁺²+（-1）ⁿ•（n+2），
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
T_n=2³-3+2⁴+4+…+2ⁿ⁺²+（-1）ⁿ•（n+2）
=（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺²）+（-3+4）+…+（-n-1+n+2）
=

8(1-2n)

1-2

+

n

2

=2n+3+

n

2

-8．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
T_n=2³-3+2⁴+4+…+2ⁿ⁺²+（-1）ⁿ•（n+2）
=（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺²）+（-3+4）+…+（-n+n+1）-（n+2）
=

8(1-2n)

1-2

+

n-1

2

-n-2
=2n+3-

n

2

-

21

2

．
∴T_n=

2n+3+ n 2 -8，n為正偶數(shù) 2n+3- n 2 - 21 2 ，n為正奇數(shù)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．