【題目】如圖所示，圓錐的頂點(diǎn)為A，底面的圓心為O，BC是底面圓的一條直徑，點(diǎn)D，E在底面圓上，已知，.

（1）證明：；

（2）若二面角的大小為，求直線OC與平面ACE所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.

【解析】

（1）由可得，易證平面OAC，即可求得（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角計(jì)算公式求解即可.

（1）因?yàn)?/span>，，所以，

所以.

在圓錐AO中，AO與底面垂直，

所以.

因?yàn)?/span>，

所以平面OAC，

因?yàn)?/span>平面OAC，

所以.

（2）由（1）可知0A，OC，OD兩兩垂直，以O為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，.

因?yàn)?/span>，，所以為二面角的平面角，

所以，從而可得.

所以，，.

設(shè)平面ACE的法向量為.

則.令，則.

設(shè)直線OC與平面ACE所成的角為，

則.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校針對(duì)校食堂飯菜質(zhì)量開(kāi)展問(wèn)卷調(diào)查，提供滿意與不滿意兩種回答，調(diào)查結(jié)果如下表（單位：人）：

學(xué)生

高一

高二

高三

滿意

500

600

800

不滿意

300

200

400

（1）求從所有參與調(diào)查的人中任選1人是高三學(xué)生的概率；

（2）從參與調(diào)查的高三學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取6人，在這6人中任意選取2人，求這兩人對(duì)校食堂飯菜質(zhì)量都滿意的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】高鐵是一種快捷的交通工具，為我們的出行提供了極大的方便。某高鐵換乘站設(shè)有編號(hào)為①，②，③，④，⑤的五個(gè)安全出口，若同時(shí)開(kāi)放其中的兩個(gè)安全出口，疏散名乘客所需的時(shí)間如下：

安全出口編號(hào)

①②

②③

③④

④⑤

①⑤

疏散乘客時(shí)間(s)

120

220

160

140

200

則疏散乘客最快的一個(gè)安全出口的編號(hào)是（ ）

A. ①B. ②C. ④D. ⑤

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求函數(shù)的解析式，并證明：.

（2）已知，且函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知雙曲線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且其中一焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為1.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別交雙曲線于，兩點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，，平面外一點(diǎn)在平內(nèi)的射影恰在邊的中點(diǎn)上，．

（1）求證：平面平面；

（2）若在線段上，且平面，求點(diǎn)到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是橢圓的頂點(diǎn).過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，其中在第一象限.過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為.設(shè)直線的斜率為.

（1）若直線平分線段，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校命制了一套調(diào)查問(wèn)卷（試卷滿分均為100分），并對(duì)整個(gè)學(xué)校的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試.現(xiàn)從這些學(xué)生的成績(jī)中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)，按照分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績(jī)均不低于50分）.

（1）求頻率分布直方圖中x的值，并估計(jì)所抽取的50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）用樣本估計(jì)總體，若該校共有2000名學(xué)生，試估計(jì)該校這次測(cè)試成績(jī)不低于70分的人數(shù)；

（3）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)不低于70分的學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人，試求成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生至少有1人被抽到的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某手機(jī)公司生產(chǎn)某款手機(jī)，如果年返修率不超過(guò)千分之一，則生產(chǎn)部門(mén)當(dāng)年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司2010-2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

年份

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年生產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）

3

4

5

6

7

7

9

10

12

產(chǎn)品年利潤(rùn)（千萬(wàn)元）

3.6

4.1

4.4

5.2

6.2

7.8

7.5

7.9

9.1

年返修量（臺(tái)）

47

42

48

50

92

83

72

87

90

（1）從該公司2010-2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù)，以表示3年中生產(chǎn)部門(mén)獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）根據(jù)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大，如果去掉該年的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤(rùn)（千萬(wàn)元）關(guān)于年生產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）的線性回歸方程（精確到0.01）.部分計(jì)算結(jié)果：，，.

附：；線性回歸方程中，，.

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