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已知函數f（x）=a（x-2）（x-
a-1
a
），其中a≠0．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）解關于x的不等式f（x）＞0．
考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性
專題：導數的綜合應用
分析：（Ⅰ）a=1時，f（x）=（x-2）x=（x-1）2-1，由此能求出f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值，
（Ⅱ）當a＞0時，原不等式同解于（x-2）（x-
a-1
a
）＞0，當a＜0時，原不等式同解于（x-2）（x-
a-1
a
）＜0，由此能求出當a＞0時，不等式的解集為{x|x＞2或x＜
a-1
a
}；當-1＜a＜0時，不等式的解集為{x|2＜x＜
a-1
a
}；當a=-1時，不等式的解集為∅；當a＜-1時，不等式的解集為{
a-1
a
＜x＜2}．
解答： 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=（x-2）x=（x-1）2-1，
∴函數f（x）在（0，1）上是單調函數，在（1，3）上單調遞增，
∴f（x）在[0，3]上的最小值為f（1）=-1，
又f（3）＞f（0），∴f（x）在[0，3]上的最大值為f（3）=3．
（Ⅱ）（1）當a＞0時，原不等式同解于（x-2）（x-
a-1
a
）＞0，
∵2-
a-1
a
=
a+1
a
＞0，
∴
a-1
a
＜2，
此時f（x）＞0的解集為{x|x＞2或x＜
a-1
a
}，
（2）當a＜0時，原不等式同解于（x-2）（x-
a-1
a
）＜0，
由2-
a-1
a
=
a+1
a
，得：
①若-1＜a＜0，則2＜
a-1
a
，
此時，f（x）＞0的解集為{x|2，x＜
a-1
a
}，
②若a=-1，原不等式無解．
③若a＜-1，則2＞
a-1
a

此時f（x）＞0的解集為{x|
a-1
a
＜x＜2}．
綜上，當a＞0時，不等式的解集為{x|x＞2或x＜
a-1
a
}；
當-1＜a＜0時，不等式的解集為{x|2＜x＜
a-1
a
}；
當a=-1時，不等式的解集為∅；
當a＜-1時，不等式的解集為{
a-1
a
＜x＜2}．
點評：本題考查函數有閉區(qū)間上的最大值和最小值的求法，考查參數不等式的解法，解題時要注意分類討論思想的合理運用．
練習冊系列答案
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已知方程2x2-（m+1）x+m=0有兩個不等正實根，求實數m的取值范圍．

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已知函數g（x）=xex+1．
（Ⅰ）證明：g（x）＞0；
（Ⅱ）證明：
ex
xex+1
≤1；
（Ⅲ）當x＞0，不等式
ex
xex+1
＞
1
ax2+1
恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
2-(
1
3
)x，x≤0
1
2
x2-x+1，x＞0

（1）當x≤0時，解不等式f（x）≥-1；
（2）寫出該函數的單調區(qū)間；
（3）若函數g（x）=f（x）-m恰有3個不同零點，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=mlnx+
1
x
-x，g（x）=
1
m
lnx．
（1）當x≥1時，總有f（x）≤0，求m的取值范圍；
（2）當m∈[3，+∞）時，曲線F（x）=f（x）+g（x）上總存在相異兩點A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）），使得曲線F（x）在點A、B處的切線互相平行，求x1+x2的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知△ABC的面積為3，設
AB
和
AC
的夾角為θ．
（1）若
AB
•
AC
=6，求θ的值；
（2）若
π
4
≤θ≤
π
2
，求函數f（θ）=2sin2（
π
4
+θ）-
3
cos2θ的最大值及此時θ的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

求值：
（1）（5
1
16
）0.5+（-1）-1÷0.75-2+（2
10
27
） -
2
3

（2）log6
1
12
-2log63+
1
3
log627．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知α∈（0，
π
2
），β∈（
π
2
，π），且cosβ=-
1
3
，sinα=
7
9
，求sin（α+β）的值；
（2）已知tanα=
1
7
，tanβ=
1
3
，且α，β都是銳角，求α+2β的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

直線x-ay+2=0將圓x2+y2-2x+4y-13=0分成兩段弧，其中較短的一段弧所對圓心角為
π
2
，則a=
 
．

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