Question

【題目】如圖所示，已知圓的圓心在直線上，且該圓存在兩點關于直線對稱，又圓與直線相切，過點的動直線與圓相交于兩點，是的中點，直線與相交于點．

（1）求圓的方程；

（2）當時，求直線的方程；

（3）是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或；(3)是，.

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件構建方程組求解；(2)借助題設建立方程組求解；(3)運用向量的坐標形式的運算推證求解.

試題解析：

（1）由圓存在兩點關于直線對稱知圓心在直線上，

由得．

設圓的半徑為，因為圓與直線相切，

所以．

所以圓的方程為．

（2）當直線與軸垂直時，易知符合題意．．

當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，

即連接，則，

∵，∴，

由，得

∴直線的方程為．

∴所求直線的方程為或．

（3）∵，∴，

∴，

當直線與軸垂直時，得，則，又，

∴

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

由，解得，∴，

∴

綜上所述，是定值，且為-10．