Question

15．如圖，在平面直角坐標系xOy中，A是橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左頂點，過點P（2，-1）任意作一條直線l與橢圓G交于C，D，記直線AC，AD的斜率分別為k₁，k₂，則$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$的值為-4．

Answer 1

分析 直線AC：y=k₁（x+2），與$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1聯(lián)立得C（$\frac{2-8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），同理得D（$\frac{2-8{{k}_{2}}^{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$），由C，D，P三點共線得：k_CP=k_DP，由此可得$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$．

解答 解：設直線AC：y=k₁（x+2），與$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1聯(lián)立
得C（$\frac{2-8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），
同理得D（$\frac{2-8{{k}_{2}}^{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$）
由C，D，P三點共線得：k_CP=k_DP，得$\frac{\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}+1}{\frac{2-8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}-2}$=$\frac{\frac{4{k}_{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}+1}{\frac{2-8{{k}_{2}}^{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}-2}$，
∴$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=-4．
故答案為：-4．

點評 本題考查兩直線的斜率的倒數(shù)和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．