Question

用至少2種方法求函數(shù)y=

sinx

cosx-2

的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：三角函數(shù)的求值

分析：本題第1種方法可以利用三角函數(shù)的有界性，即-1≤sinα≤1．
第2種方法是利用萬能公式，將正弦、余弦函數(shù)化為同名三角函數(shù)，再用換元法就可以．

解答： 解：方法1：
∵cosx-2≠0，
∴y（cosx-2）=sinx
?sinx-ycosx=-2y
?

1+y2

sin(x+θ)=-2y
?sin(x+θ)=-

2y

1+y2

，∵sin（x+θ）∈[-1，1]，
∴-1≤-

2y

1+y2

≤1，解得-

3

3

≤y≤

3

3

，
∴函數(shù)的值域為：[-

3

3

，

3

3

]．
方法2：y=

2tan x 2 1+tan2 x 2

1-tan2 x 2 1+tan2 x 2 -2

=-

2tan x 2

1+3tan2 x 2

，令t=tan

x

2

（t∈R），則y=-

2t

1+3t2

，
當t=0時，y=0，
當t≠0時，y=-

2

3t+ 1 t

，∵3t+

1

t

∈(-∞，-2

3

]∪[2

3

，+∞)，y∈[-

3

3

，0)∪(0，

3

3

]．
∴函數(shù)的值域為：[-

3

3

，

3

3

]．
故答案為：[-

3

3

，

3

3

]．

點評：三角函數(shù)求值域問題常是借助三角函數(shù)的有界性來解決．也可以利用萬能公式化異名為同名來解決．屬于中檔題．