Question

橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，

2

2

）．直線l₁：y=k₁x+m₁與橢圓M交于A，C兩點(diǎn)，直線l₂：y=k₂x+m₂與橢圓M交于B，D兩點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形．
（1）求橢圓M的方程；
（2）求證：平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于原點(diǎn)O；
（3）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為

2

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，

2

2

），建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓M的方程；
（2）直線l₁：y=k₁x+m₁與橢圓M聯(lián)立，求出線段AC的中點(diǎn)，同理求出線段BD的中點(diǎn)，利用四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（3）若平行四邊形ABCD為菱形，求出|OA|，|OB|，利用配方法求菱形ABCD面積的最小值．

解答： （1）解：依題意有

c a = 2 2 1 a2 + 1 2 b2 =1

，
又∵a²=b²+c²，
解得a²=2，b²=1
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．…（3分）
（2）證明：依題意，直線l₁：y=k₁x+m₁與橢圓M聯(lián)立，可得（2k₁²+1）x²+4k₁m₁x+2m₁²-2=0
∴x_A+x_C=-

4k1m1

2k12+1

∴線段AC的中點(diǎn)為（-

2k1m1

2k12+1

，

m1

2k12+1

）．
同理，線段BD的中點(diǎn)為（-

2k2m2

2k22+1

，

m2

2k22+1

）．…．（5分）
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴-

2k1m1

2k12+1

=-

2k2m2

2k22+1

，

m2

2k22+1

=

m1

2k12+1

．
解得，m₁=m₂=0或k₁=k₂（舍）．
即平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于原點(diǎn)O．…（7分）
（3）解：由（2）知x_A²=x_C²=

2

2k12+1

故|OA|=|OC|=

1+k12

•

2 2k12+1

．
同理，|OB|=|OD|=

1+k22

•

2 2k22+1

．…．（9分）
又∵AC⊥BD，
∴|OB|=|OD|=

1+( 1 k1 )2

•

2 2( 1 k1 )2+1

，其中k₁≠0．
從而菱形ABCD的面積S為：
S=2|OA||OB|=2

1+k12

•

2 2k12+1

•

1+( 1 k1 )2

•

2 2( 1 k1 )2+1

=4

1 2+ 1 (k1+ 1 k1 )2

，
∴當(dāng)k₁=1或-1時(shí)，菱形ABCD的面積最小，該最小值為

8

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，考查小時(shí)分析解決問(wèn)題的能力，難度大．