Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），設(shè)直線l₁，l₂分別是曲線y=f（x）的兩條不同的切線．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)f（x）有極小值為-4．
（i）求a，b，c，d的值；
（ii）若直線l₃亦與曲線y=f（x）相切，且三條不同的直線l₁，l₂，l₃交于點(diǎn)G（m，4），求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若直線l₁∥l₂，直線l₁與曲線y=f（x）切于點(diǎn)B且交曲線y=f（x）于點(diǎn)D，直線l₂和與曲線y=f（x）切于點(diǎn)C且交曲線y=f（x）于點(diǎn)A，記點(diǎn)A，B，C，D的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，x_C，x_D，求（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）（i）由函數(shù)為奇函數(shù)求得b，再由當(dāng)x=1時(shí)f（x）有極小值為-4列式求出a，c的值；
（ii）設(shè)（x₀，y₀）為曲線y=f（x）上一點(diǎn)，由（i）得f′(x0)=6x02-6，由此得到y(tǒng)=f（x）在點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程結(jié)合f′（-1）=0，f（-1）=4，可知y=4是曲線y=f（x）的一條切線，且過（m，4）．再設(shè)另兩條切線切點(diǎn)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），求出直線l₁和l₂的方程，令y=4求得m=

2(x12-x1+1)

3(x1-1)

且m=

2(x22-x2+1)

3(x2-1)

，可知x₁，x₂是方程m=

2(x2-x+1)

3(x-1)

的兩解，然后構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出m的取值范圍；
（2）令x_B=x₁，x_C=x₂，由直線l₁∥l₂得到兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，再通過求解方程組求得點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)，得到（x_A-x_B），（x_B-x_C），（x_C-x_D），則答案可求．

解答： 解：（1）（i）∵x∈R，f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=d=0，f（-x）=-f（x），即-ax³+bx²-cx=-ax³-bx²-cx，
∴b=0，
∴f（x）=ax³+cx，
則f′（x）=3ax²+c，
又當(dāng)x=1時(shí)f（x）有極小值為-4，
∴

f′(1)=0 f(1)=-4

，即

3a+c=0 a+c=-4

，
解得：

a=2 c=-6

，
即f（x）=2x³-6x，
經(jīng)檢驗(yàn)f（x）=2x³-6x滿足題意．
∴a=2，c=-6，b=d=0；
（ii）設(shè)（x₀，y₀）為曲線y=f（x）上一點(diǎn)，由（i）得f′(x0)=6x02-6，
則曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程為y=(6x02-6)(x-x0)+y0，
即y=(6x02-6)x-4x03，顯然過某一點(diǎn)的切線最多有三條；
又f′（-1）=0，f（-1）=4，
∴y=4是曲線y=f（x）的一條切線，且過（m，4）；
設(shè)另兩條切線切點(diǎn)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），其中x₁≠1，x₂≠1且x₁≠x₂，
∴不妨設(shè)直線l₁的方程為y=(6x12-6)x-4x13，直線l₂的方程為y=(6x22-6)x-4x23，
令y=4并化簡(jiǎn)得3m(x12-1)=2(x13+1)，3m(x22-1)=2(x22+1)，
則m=

2(x12-x1+1)

3(x1-1)

且m=

2(x22-x2+1)

3(x2-1)

，
∴x₁，x₂是方程m=

2(x2-x+1)

3(x-1)

的兩解，
令g(x)=

2(x2-x+1)

3(x-1)

=

2

3

(x-1+

1

x-1

+1)，
則g′(x)=

2

3

(1-

1

(x-1)2

)，
令g′（x）=0得x=2或0，
∴當(dāng)x＜0或x＞2時(shí)，g′（x）＞0；
當(dāng)0＜x＜1或1＜x＜2時(shí)，g′（x）＜0；
又g(0)=-

2

3

，g（2）=2，
故當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）的值域?yàn)椋?∞，-

2

3

），
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，g（x）的值域?yàn)椋?∞，-

2

3

]，
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，g（x）的值域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)x＞2時(shí)，g（x）的值域?yàn)閇2，+∞），
又當(dāng)x=-1時(shí)，g（-1）=-1，
因此m∈(-∞，-1)∪(-1，-

2

3

)∪(2，+∞)；
（2）令x_B=x₁，x_C=x₂，由f′（x）=3ax²+2bx+c及l(fā)₁∥l₂得：
3ax12+2bx1+c=3ax22+2bx2+c，
∴3a（x₁+x₂）（x₁-x₂）=2b（x₂-x₁），
由x₁≠x₂，得x1+x2=-

2b

3a

，
即x2=-x1-

2b

3a

；                                 
將y=(3ax12+2bx1+c)(x-x1)+y1與y=f（x）聯(lián)立化簡(jiǎn)得
ax3+bx2-(3ax12+2bx1)x+2ax13+bx12=0，
∴a(x-x1)2(x+2x1+

b

a

)=0，∴xD=-2x1-

b

a

，
同理xA=-2x2-

b

a

=2x1+

b

3a

，
∴xA-xB=x1+

b

3a

，xB-xC=2x1+

2b

3a

，xC-xD=x1+

b

3a

，
∴（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答該題要求學(xué)生具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，是難度較大的題目．