Question

9．已知f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，試判斷f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析 運(yùn)用單調(diào)性的定義判斷得出：f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-1}$$-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}-1}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}-1}}$，運(yùn)用定義判斷符號(hào)，就可以得出f（x₁）＜f（x₂），利用單調(diào)性的定義判斷即可．

解答 證明：設(shè)x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂．
f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-1}$$-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}-1}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}-1}}$
∵x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂．
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0，$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-1}$≥0，$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}-1}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義，關(guān)鍵是利用差比法分解因式，難度不大，屬于中檔題．