Question

14．已知圓C：x²+y²-4ax-2ay+20a-25=0
（1）求證：對任意a∈R．圓C恒過定點
（2）當(dāng)a變化時，求圓心的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）圓即x²+y²-（4x+2y-20）a-25=0，它一定經(jīng)過x²+y²=25 和直線4x+2y-20=0的交點M，再由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}=25}\\{4x+2y-20=0}\end{array}\right.$ 求得定點M的坐標．
（2）當(dāng)a變化時，易知圓C：x²+y²-4ax-2ay+20a-25=0的圓心N（2a，a），顯然點N在直線x-2y=0 上，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）證明：∵圓C：x²+y²-4ax-2ay+20a-25=0，即x²+y²-（4x+2y-20）a-25=0，
∴它一定經(jīng)過x²+y²=25 和直線4x+2y-20=0的交點M．
再由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}=25}\\{4x+2y-20=0}\end{array}\right.$，求得定點M的坐標為（3，4）或（5，0）．
（2）當(dāng)a變化時，∵圓C：x²+y²-4ax-2ay+20a-25=0的圓心N（2a，a），
顯然點N在直線y=$\frac{1}{2}$x上，即圓心的軌跡方程為x-2y=0．

點評 本題主要考查圓的一般方程和標準方程，求直線和圓的交點的坐標，軌跡方程的求法，屬于中檔題．