Question

設(shè)奇函數(shù)f（x）定義在（-π，0）∪（0，π）上，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f（

π

2

）=0，當(dāng)0＜x＜π時(shí)，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，則關(guān)于x的不等式f（x）＜2f（

π

6

）sinx的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的定義域及其求法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)g（x）=

f(x)

sinx

，利用導(dǎo)數(shù)判斷出g（x）單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集．

解答： 解：設(shè)g（x）=

f(x)

sinx

，
∴g′（x）=

f′(x)sinx-f(x)cosx

sin2x

，
∵f（x）是定義在（-π，0）∪（0，π）上的奇函數(shù)，
故g（-x）=

f(-x)

sin((-x)

=

f(x)

sinx

=g（x）
∴g（x）是定義在（-π，0）∪（0，π）上的偶函數(shù)．
∵當(dāng)0＜x＜π時(shí)，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上單調(diào)遞減，
∴g（x）在（-π，0）上單調(diào)遞增．
∵f（

π

2

）=0，
∴g（

π

2

）=

f( π 2 )

sin π 2

=0，
∵f（x）＜2f（

π

6

）sinx，
∴g（x）＜g（

π

6

），x∈（0，π），或g（x）＞g（-

π

6

），x∈（-π，0），
∴

π

6

＜x＜π，或-

π

6

＜x＜0．
故x的不等式f（x）＜2f（

π

6

）sinx的解集為（-

π

6

，0）∪（

π

6

，π）．
故答案為：（-

π

6

，0）∪（

π

6

，π）

點(diǎn)評(píng)：求抽象不等式的解集，一般能夠利用已知條件判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體函的不等式解之