Question

數(shù)列{a_n}滿足S_n=2n-a_n，n∈N^*．（S_n為前n項和）
（1）計算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想a_n；
（2）推導(dǎo){a_n}中相鄰兩項的關(guān)系式并化簡．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,歸納推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用S_n=2n-a_n，代入計算，可得a₁，a₂，a₃，a₄，并由此能猜想a_n；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明an=

2n-1

2n-1

．（n∈N^*）成立，由此能推導(dǎo)出an=

1

2

an-1+1，n≥2．

解答： 解：（1）∵S_n=2n-a_n，
∴a₁=S₁=2-a₁，解得a₁=1，
S₂=1+a₂=2×2-a₂，解得a2=

3

2

，
S3=1+

3

2

+a3=2×3-a3，解得a3=

7

4

，
S4=1+

3

2

+

7

4

+a4=2×4-a4，解得a4=

15

8

．
由此猜想：an=

2n-1

2n-1

．
（2）：①當(dāng)n=1時，a₁=1，結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k（k≥1且k∈N^*）時，結(jié)論成立，即a_k=

2k-1

2k-1

，
那么n=k+1時，
a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1．
∴2a_k+1=2+a_k，
∴a_k+1=

2+ak

2

=

2k+1-1

2k

，
這表明n=k+1時，結(jié)論成立，
由①②知猜想an=

2n-1

2n-1

．（n∈N^*）成立．
∴an-1=

2n-1-1

2n-2

=

2n-2

2n-1

=

2n-1

2n-1

-

1

2n-1

，
∴

1

2

an-1+1=

2n-1

2n

-

1

2n

+1=

2•2n-2

2n

=

2n-1

2n-1

=a_n．
∴an=

1

2

an-1+1，n≥2．

點評：本題考查a₁，a₂，a₃，a₄的求法并由此猜想a_n，考查{a_n}中相鄰兩項的關(guān)系式的推導(dǎo)并化簡，是中檔題，解題時要認真審題．