Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A₁，A₂是橢圓的兩個長軸端點，過右焦點F的直線l：y=k（x-1）交橢圓C于M、N兩點，P為線段MN的中點，當k=1時，OP的斜率為-

3

4

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）記△A₁MA₂、△A₁NA₂的面積為S₁、S₂，若S₁=2S₂，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）將直線方程y=x-1代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韋達定理求出k_OP=

yP

xP

=-

b2

a2

=-

3

4

，由此能求出橢圓方程．
（2）聯(lián)立方程組

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）將直線方程y=x-1代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
并整理得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程的兩個根，
由韋達定理得：x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x₁x₂=

a2-a2b2

a2+b2

，
y₁+y₂=x₁+x₂-2=

-2b2

a2+b2

，
∴x_P=

x1+x2

2

=

a2

a2+b2

，y_P=

y1+y2

2

=

-b2

a2+b2

，
∴k_OP=

yP

xP

=-

b2

a2

，
∴由題意：-

b2

a2

=-

3

4

，∴3a²=4b²，
在直線l的方程中，令y=0，得x=1，
∴F（1，0），∴c=1，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（2）聯(lián)立方程組

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，
消元并整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
△=（-8k²）²-4（4k²+3）（ 4k²-12）=144（k²+1）＞0
x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x₁x₂=

4k2-12

4k2+3

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-6k

4k2+3

，y₁y₂=

-9k2

4k2+3

，…①
S₁=

1

2

|A₁A₂|•y₁，S₂=

1

2

|A₁A₂|•|y₂|=-

1

2

|A₁A₂|•y₂，
∵S₁=2S₂，∴y₁=-2y₂，
代入①中兩個式子：-y₂=

-6k

4k2+3

，…②
-2y₂=

-9k2

4k2+3

，…③

②2

①

，得：

36k2 (4k2+3)2

-9k2 4k2+3

=-

1

2

，
整理得：

4

4k2+3

=

1

2

，∴k²=

5

4

，k=±

5

2

，
∴直線l方程為：

5

x-2y-

5

=0或

5

x+2y-

5

=0．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理等知識點的合理運用．