Question

設(shè)關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)f（n）=

12•1+22•3+…n2•(2n-1)

n(n+1)

．
（Ⅰ）求f（1）、f（2）、f（3）；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)a，b，c使得f（n）=an²+bn+c對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）通過已知條件，直接求解f（1）、f（2）、f（3）；
（Ⅱ）先假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，c，再令n=1，n=2，n=3構(gòu)造三個方程求出a，b，c，再用用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，證明時先證：①當(dāng)n=1時成立．②再假設(shè)n=k（k≥1）時，成立，即

12•1+22•3+…n2•(2n-1)

n(n+1)

=an²+bn+c，再遞推到n=k+1時，成立即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（n）=

12•1+22•3+…n2•(2n-1)

n(n+1)

，f（1）=

1

2

；f（2）=

13

6

；f（3）=

19

6

；
（Ⅱ）假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，c，由（Ⅰ）可得：

a+b+c= 1 2 4a+2b+c= 13 6 9a+3b+c= 29 6

，解得：a=

1

2

，b=

1

6

，c=-

1

6

；
證明：①的n=1，2，3時已經(jīng)證明等式成立；
②假設(shè)n=k（k≥3）時，等式成立，即f（k）=

1

6

(3k2+k-1)．
則當(dāng)n=k+1時，
f（k+1）=

12•1+22•3+…+k2•(2k-1)+(k+1)2(2k+1)

(k+1)(k+2)

=

12•1+22•3+…+k2•(2k-1)

(k+1)(k+2)

+

(k+1)2(2k+1)

(k+1)(k+2)

=

k

k+2

•

2k2+k-1

6

+

(k+1)(2k+1)

k+2

=

3k3+13k2+17k+6

6(k+2)

=

1

6(k+2)

(k+2)(3k2+7k+3)
=

1

6

[3(k+1)2+(k+1)-1]
∴當(dāng)n=k+1時，等式也成立．
綜上所述，當(dāng)a=

1

2

，b=

1

6

，c=-

1

6

時，題設(shè)的等式對于一切正整數(shù)n都成立．

點(diǎn)評：第（Ⅰ）題主要考查遞推公式的應(yīng)用，第（Ⅱ）題主要考查研究存在性問題和數(shù)學(xué)歸納法，對存在性問題先假設(shè)存在，再證明是否符合條件．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設(shè)的模型才能成立．