Question

已知圓C的圓心在坐標原點，且與直線l₁：x-y-2

2

=0相切，點R（1，-1）．
（Ⅰ）過點G（1，3）作兩條與圓C相切的直線，切點分別為M，N，求直線MN的方程；
（Ⅱ）若與直線l₁垂直的直線l與圓C交于不同的兩點P，Q，且∠PRQ為鈍角，求直線l的縱截距的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：計算題,直線與圓

分析：（Ⅰ）設圓C的半徑為r，運用直線和圓相切的條件：d=r，求得圓C的方程，再求以G點為圓心，線段GM長為半徑的圓G方程，兩方程相減即可得到MN的方程；
（Ⅱ）（方法一）設直線l的方程為：y=-x+b，聯(lián)立圓C方程，運用判別式大于0，韋達定理以及向量的數(shù)量積的坐標表示，化簡解不等式，即可得到所求范圍；
（方法二）設直線l的方程為：y=-x+2m，取PQ中點M，則OM⊥PQ，點M坐標為M（m，m）．若使∠PRQ為鈍角，需滿足點R在以PQ為直徑的圓內(nèi)，且點P，Q，R不共線，運用d＜r，且三點共線知識，計算即可得到所求范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設圓C的半徑為r，
由圓與直線l₁：x-y-2

2

=0相切，
則r=

|0-0-2 2 |

12+12

=2，
則圓C方程為x²+y²=4，
由點G（1，3），則|OG|=

12+32

=

10

，|GM|=

OG2-OM2

=

10-4

=

6

，
則以G點為圓心，線段GM長為半徑的圓G方程（x-1）²+（y-3）²=6（1）
又圓C方程為：：x²+y²=4（2）
由（1）-（2）得直線MN方程為x+3y-4=0；
（Ⅱ）（方法一）設直線l的方程為：y=-x+b，
聯(lián)立x²+y²=4得：2x²-2bx+b²-4=0，
設直線l與圓的交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得b²＜8，
x₁+x₂=b，x₁x₂=

b2-4

2

（3）
因為∠PRQ為鈍角，所以

RP

•

RQ

＜0，
即滿足（x₁-1）（x₂-1）+（y₁+1）（y₂+1）＜0，
且

RP

與

RQ

不是反向共線，又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b，
所以（x₁-1）（x₂-1）+（y₁+1）（y₂+1）=2x₁x₂-（b+2）（x₁+x₂）+b²+2b+2＜0（4）
由（3）（4）得b²＜2，滿足△＞0，即-

2

＜b＜

2

，
當

RP

與

RQ

反向共線時，直線y=-x+b過（1，-1），
此時b=0，不滿足題意，
故直線l縱截距的取值范圍是[-

2

，0）∪（0，

2

]．
（方法二）設直線l的方程為：y=-x+2m，取PQ中點M，則OM⊥PQ，
點M坐標為M（m，m）．
若使∠PRQ為鈍角，需滿足點R在以PQ為直徑的圓內(nèi)，且點P，Q，R不共線
即MR＜

1

2

PQ即MR²＜OP²-OM²即（m-1）²+（m+1）²＜4-（m²+m²），
解得：m²＜

1

2

，
當P，Q，R三點共線時，直線y=-x+2m過（1，-1），
此時m=0，不滿足題意，所以2m∈[-

2

，0）∪（0，

2

]．
故直線l縱截距的取值范圍是[-

2

，0）∪（0，

2

]．

點評：本題考查直線和圓的位置關系，考查直線和圓相切的條件，同時考查兩直線垂直的條件，運用向量的數(shù)量積小于0和構造圓的思想解決鈍角問題是解題的關鍵．