Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AA₁=2，AC=2，D、E分別是CC₁與A₁B的中點．
（1）求二面角A-DE-B的余弦值；
（2）求A₁B與平面ABD所成角的大小的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角

專題：空間向量及應用

分析：（1）以C為原點，以CB為x軸，以CA為y軸，以CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-DE-B的余弦值．
（2）求出平面ABD的法向量，利用向量法能求出A₁B與平面ABD所成角的大小．

解答： 解：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AA₁=2，AC=2，
D、E分別是CC₁與A₁B的中點．
以C為原點，以CB為x軸，以CA為y軸，以CC₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
∴A（0，2，0），B（2，0，0），A₁（0，2，2），
E（1，1，1），D（0，0，1），
∴

DA

=(0，2，-1)，

DE

=（1，1，0），

DB

=（2，0，-1），
設平面ADE的法向量

m

=（x，y，z），
則

m

•

AD

=0，

m

•

DE

=0，
∴

2y-z=0 x+y=0

，∴

m

=（1，-1，-2），
設平面BDE的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），則

n

•

DB

=0，

n

•

DE

=0，
∴

2x1-z1=0 x1+y1=0

，∴

n

=（1，-1，2），
設二面角A-DE-B的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1+1-4

6 • 6

|=

1

3

．
∴二面角A-DE-B的余弦值為

1

3

．
（2）∵

AB

=（2，-2，0），

AD

=（0，-2，1），

A1B

=（2，-2，-2），
設平面ABD的法向量

p

=(x2，y2，z2)，則

p

•

AB

=0，

p

•

A1B

=0，
∴

2x2-2y2=0 -2y2+z2=0

，∴

p

=(1，1，2)，
設A₁B與平面ABD所成角為α，
則sinα=|cos＜

p

，

A1B

＞|=|

2-2-4

12 • 6

|=

2

3

，
∴α=arcsin

2

3

，
∴A₁B與平面ABD所成角的大小為arcsin

2

3

．

點評：本題考查二面角的余弦值的求法，考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時要注意向量法的合理運用．