Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=1，且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1]（n=1，2，3，…）． 則S₁₀₀=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出a_n=

n，n為奇數(shù) ( 1 2 ) n 2 -1，n為偶數(shù)

，由此利用分組求和法能求出S₁₀₀．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=1，且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1]，
∴n=1時(shí)，2a₃=2a₁+4=6，解得a₃=3，
n=2時(shí)，4a₄=2a₂=2，解得a4=

1

2

，
n=3時(shí)，2a₅=2a₃+4=10，解得a₅=5，
n=4時(shí)，4a₆=2a₄=1，解得a₆=

1

4

，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)n=2m-1，m∈N^*，則a_2m+1-a_2m-1=2．
∴{a_2m-1}為等差數(shù)列，
∴a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1，即a_n=n
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m，m∈N^*，則2a_2m+2-a_2m=0．
∴{a_2m}為等比數(shù)列，a_2m=（

1

2

）^m-1．
∴a_n=

n，n為奇數(shù) ( 1 2 ) n 2 -1，n為偶數(shù)

，
∴S₁₀₀=（1+3+5+…+99）+（1+

1

2

+

1

4

+…+

1

249

）
=

50

2

(1+99)+

1×[1-( 1 2 )50]

1- 1 2

=2500+2-（

1

2

）⁴⁹
=2502-2^-49．
故答案為：2502-2^-49．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前100項(xiàng)和的求法，推導(dǎo)出a_n=

n，n為奇數(shù) ( 1 2 ) n 2 -1，n為偶數(shù)

，是解題的關(guān)鍵，屬于難題．