【題目】若數(shù)列的項數(shù)均為,則將數(shù)列的距離定義為.

(1)求數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離.

(2)記為滿足遞推關系的所有數(shù)列的集合,數(shù)列中的兩個元素,且項數(shù)均為.若 ,數(shù)列的距離小于2016,求的最大值.

(3)記是所有7項數(shù)列(其中, )的集合, ,且中的任何兩個元素的距離大于或等于3.求證: 中的元素個數(shù)小于或等于16.

【答案】(1)7;(2)3455;(3)見解析.

【解析】(1)根據(jù)題意,將兩數(shù)列對應代入計算,問題即可得解;(2)由題意,根據(jù)遞推關系,不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以4為周期的數(shù)列,由此可確定數(shù)列亦為周期數(shù)列,由其首項即可知對應數(shù)列各項,依據(jù)定義當項數(shù)越大時,其距離也呈周期性且越大,從而問題可得解;(3)根據(jù)題意,這里可以考慮采用反證法來證明,首先假設問題不成立,再通過特殊賦值法,依據(jù)定義進行運算,發(fā)現(xiàn)與條件相矛盾,從而問題可得證.

試題解析:(1)由題得數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離為7.

(2)設,其中.

, , , ,….

所以, ,….

因此集合中的所有數(shù)列都具有周期性,且周期為4.

所以數(shù)列中, , , ,

數(shù)列中, , , , .

因為,

所以項數(shù)越大,數(shù)列的距離越大.

因為,

,

因此,當時, .

的最大值為3455.

(3)假設中的元素個數(shù)大于或等于17.

因為數(shù)列中, 或1,

所以僅由數(shù)列前三項組成的數(shù)組( , )有且只有8個:(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1).

那么這17個元素之中必有3個具有相同的 , .

設這3個元素分別為 , , , , , , , ; , , , , , ,其中, , .

因為這3個元素中每兩個元素的距離大于或等于3,

所以在中, 至少有3個成立.

不妨設, , .

由題意得, 中一個等于0,另一個等于1.

又因為或1,所以中必有一個成立.

同理得: 中必有一個成立, 中必有一個成立,

所以“ 中至少有兩個成立”和“ 中至少有兩個成立”中必有一個成立.

中必有一個成立,這與題意矛盾.

所以中的元素個數(shù)小于或等于16.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),在區(qū)間內任取兩個實數(shù),且,若不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為( )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在某次水下科研考察活動中,需要潛水員潛入水深為60米的水底進行作業(yè),根據(jù)已往經(jīng)驗,潛水員下潛的平均速度為(米/單位時間),每單位時間的用氧量為(升),在水底作業(yè)10個單位時間,每單位時間用氧量為(升),返回水面的平均速度為(米/單位時間),每單位時間用氧量為(升),記該潛水員在此次考察活動中的總用氧量為(升).

(1)求關于的函數(shù)關系式;

(2)若,求當下潛速度取什么值時,總用氧量最少.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某知名品牌汽車深受消費者喜愛,但價格昂貴。某汽車經(jīng)銷商推出三種分期付款方式銷售該品牌汽車,并對近期100位采用上述分期付款的客戶進行統(tǒng)計分析,得到如下的柱狀圖。已知從三種分期付款銷售中,該經(jīng)銷商每銷售此品牌汽車1輛所獲得的利潤分別是1萬元,2萬元,3萬元。以這100 位客戶所采用的分期付款方式的頻率代替1位客戶采用相應分期付款方式的概率。

(Ⅰ)求采用上述分期付款方式銷售此品牌汽車1輛,該汽車經(jīng)銷商從中所獲得的利潤不大于2萬元的概率;

(Ⅱ)求采用上述分期付款方式銷售此品牌汽車1輛,該汽車經(jīng)銷商從中所獲得的利潤的平均值;

(Ⅲ)根據(jù)某稅收規(guī)定,該汽車經(jīng)銷商每月(按30天計)上交稅收的標準如下表:

若該經(jīng)銷商按上述分期付款方式每天平均銷售此品牌汽車3輛,估計其月純收入(純收入=總利潤-上交稅款)的平均值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標為.

(1)求;

(2)證明:當時,曲線與直線只有一個交點.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】2017年五一假期期間,高速公路車輛較多。某調査公司在一服務區(qū)從七座以下小型汽車中按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調 査,將他們在某段高速公路的車速分成六段: 后得到如圖的頻率分布直方圖.

(Ⅰ)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)以及平均數(shù)的估計值.

(Ⅱ)若從車速在的車輛中任抽取2輛,求車速在的車輛恰有一輛的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某中學高二年級開設五門大學先修課程,其中屬于數(shù)學學科的有兩門,分別是線性代數(shù)和微積分,其余三門分別為大學物理,商務英語以及文學寫作,年級要求每名學生只能選修其中一科,該校高二年級600名學生各科選課人數(shù)統(tǒng)計如下表:

其中選修數(shù)學學科的人數(shù)所占頻率為0.6,為了了解學生成績與選課情況之間的關系,用分層抽樣的方法從這600名學生中抽取10人進行分析.

(1)從選出的10名學生中隨機抽取3人,求這3人中至少2人選修線性代數(shù)的概率;

(2)從選出的10名學生中隨機抽取3人,記為選擇線性代數(shù)人數(shù)與選擇微積分人數(shù)差的絕對值,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了調查喜歡旅游是否與性別有關,調查人員就“是否喜歡旅游”這個問題,在火車站分別隨機調研了名女性或名男性,根據(jù)調研結果得到如圖所示的等高條形圖.

(1)完成下列 列聯(lián)表:

喜歡旅游

不喜歡旅游

估計

女性

男性

合計

(2)能否在犯錯誤概率不超過的前提下認為“喜歡旅游與性別有關”.

附:

參考公式:

,其中

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知四棱錐的底面為矩形,D的中點,AC平面BCC1B1

(Ⅰ)證明:AB//平面CDB1;

(Ⅱ)若AC=BC=1,BB1=,

(1)求BD的長;

(2)求B1D與平面ABB1所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案