Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且S_n+

1

2

a_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=log₃

an2

4

，數(shù)列{

1

bn•bn+2

}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：T_n＜

3

16

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得an+1=

1

3

an．由此得到{a_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，從而能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由bn=log3

a 2 n

4

=log33-2n=-2n，知

1

bn•bn+2

=

1

2n•2(n+2)

=

1

4

•

1

n(n+2)

=

1

8

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明：T_n＜

3

16

．

解答： 解：（1）由題Sn+1+

1

2

an+1=1①，Sn+

1

2

an=1②，
①-②得an+1+

1

2

an+1-

1

2

an=0，
∴an+1=

1

3

an．…（3分）
當(dāng)n=1時(shí) S1+

1

2

a1=1，解得a1=

2

3

，
∴{a_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
∴an=a1•qn-1=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

．…（6分）
（2）∵bn=log3

a 2 n

4

=log33-2n=-2n，…（8分）
∴

1

bn•bn+2

=

1

2n•2(n+2)

=

1

4

•

1

n(n+2)

=

1

8

(

1

n

-

1

n+2

)，Tn=

1

8

(

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)=

1

8

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

16

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．