Question

已知x，y滿足x≥0，x²+（y-2）²=2，則w=

3x2+2xy+3y2

x2+y2

的最大值為（　�。�

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：首先將w的式子展開(kāi)成3+

2xy

x2+y2

，要求w的最大值，即求

2xy

x2+y2

的最大值，運(yùn)用不等式x²+y²≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，結(jié)合條件x²+（y-2）²=2，求出x，y，從而得到最大值．

解答： 解：w=

3x2+2xy+3y2

x2+y2

可化為w=3+

2xy

x2+y2

，

要求w=

3x2+2xy+3y2

x2+y2

的最大值，
即求

2xy

x2+y2

的最大值，
∵x≥0，x²+（y-2）²=2，
∴x≥0，2-

2

≤y≤2+

2

，
若x=0，則y=2±

2

，w=3，
若x≥0，y=0，則不成立，
∴x＞0，y＞0．
∵x²+y²≥2xy，
∴

2xy

x2+y2

≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)

x=y x2+(y-2)2=2

取等號(hào)，
即x=y=1時(shí)，w=

3x2+2xy+3y2

x2+y2

取最大值，且為4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式及變形的運(yùn)用，應(yīng)注意等號(hào)成立的條件，即取最值的條件，有時(shí)要檢驗(yàn)．