Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an﹣2．
（1）求a1 ， a2 ， a3并由此猜想an的通項公式；
（2）用數學歸納法證明{an}的通項公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=2an﹣2，

當n=1時，a1=2a1﹣2，解得a1=2．

當n=2時，a1+a2=2a2﹣2，解得a2=4．

當n=3時，a1+a2+a3=2a3﹣2，解得a3=8．

猜想：an=2n．

（2）解：當n=1時，顯然猜想成立．

假設n=k時，猜想成立，即ak=2k．

則當n=k+1時，Sk+1=2ak+1﹣2．

∴Sk+ak+1=2ak+1﹣2，

∴2ak﹣2+ak+1=2ak+1﹣2，

∴ak+1=2ak=22k=2k+1．

∴當n=k+1時，猜想成立．

∴an=2n．

【解析】（1）分別令n=1，2，3代入條件式解出a1 ， a2 ， a3 ， 根據前三項的特點猜想通項公式；（2）先驗證n=1時猜想成立，假設n=k時猜想成立，利用條件式推導ak+1 ， 得出n=k+1時猜想成立．
【考點精析】關于本題考查的數列的定義和表示和數學歸納法的定義，需要了解數列中的每個數都叫這個數列的項．記作an，在數列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，……，序號為n的項叫第n項（也叫通項）記作an；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法才能得出正確答案．