Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow$=（0，-2）．
（1）當k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為120°時，求k的值；
（2）問：是否存在實數(shù)k使得k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$垂直？請給出理由．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐標求出k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的坐標，代入數(shù)量積求夾角公式求得k值；
（2）由向量垂直的坐標表示列式，求得使k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$垂直的k不存在．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow$=（0，-2），得
k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（k，k+2），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（1，-1），
∵k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為120°，
∴cos120°=$-\frac{1}{2}$=$\frac{（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|k\overrightarrow{a}-\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$=$\frac{-2}{\sqrt{{k}^{2}+（k+2）^{2}}•\sqrt{2}}$，
解得：k=-1$±\sqrt{3}$；
（2）若k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$垂直，則k-（k+2）=0，此方程無解，
故不存在實數(shù)k，使得k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$垂直．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，是基礎(chǔ)的計算題．