Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是邊長為3的正方體，點P、Q、R分別是棱AB、AD、AA₁上的點，AP=AQ=AR=1，則四面體C₁PQR的體積為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：四面體C₁PQR為兩個同底面的四棱錐C₁PQA和四面體APQR的組合體體積，與四面體APQR的體積的差，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答： 解：∵C₁C⊥面ABCD，BD?面ABCD，
∴C₁C⊥BD．
又∵AC⊥BD，C₁C∩AC=C，C₁C，AC?面ACC₁，
∴BD⊥面ACC₁，
又∵AC₁?面ACC₁，
∴AC₁⊥BD．
又∵PQ∥BD，
∴AC₁⊥PQ．
同理AC₁⊥QR．
又∵PQ∩QR=Q，PQ，QR?面PQR
∴AC₁⊥面PQR．
∵AP=AQ=AR=1，
∴PQ=QR=RP=

2

．
∵AC₁=3

3

，且V_A-PQR=

1

3

•

1

2

•1²•1=

1

6

，
∴四面體C₁PQR的體積V=

1

3

•

3

4

•(

2

)2•3

3

-V_A-PQR=

4

3

故答案為：

4

3

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，等積法是解答此類問題常用的方法，本題求組合全的體積思路較為復(fù)雜，為中檔題．