Question

若函數(shù)f（x）=a-

1

|x|

的定義域與值域均為[m，n]（m＜n），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：判斷函數(shù)奇偶性，利用函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)x＞0，x＜0分別利用函數(shù)的值域，列出關(guān)系式推出a的范圍即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（-x）=a-

1

|-x|

=a-

1

|x|

=f（x）
∴函數(shù)是偶函數(shù)
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增
①當(dāng)x＞0時(shí)，f_max（x）=f（n）=a-

1

n

=n，即n²-an+1=0；
f_min（x）=f（m）=a-

1

m

=m，即m²-am+1=0
∴m、n是關(guān)于t的一元二次方程t²-at+1=0的兩個(gè)根
∵m≠n＞0
∴m+n=a＞0
△=a²-4＞0，解得：a＞2
同理當(dāng)m＜0＜n且|m|＜n即0＜-m＜n時(shí)a＞2
②當(dāng)x＜0時(shí)，f_min（x）=f（n）=a-

1

|n|

=a+

1

n

=m，即a=m-

1

n

；
f_max（x）=f（m）=a-

1

|m|

=a+

1

m

=n，即a=n-

1

m

；
∴m-

1

n

=n-

1

m

∴（m-n）（1-

1

mn

）=0
∵m＜n＜0
∴m-n≠0
∴1-

1

mn

=0
∴m=

1

n

∴a=m-

1

n

=

1

n

-

1

n

=0．
同理當(dāng)m＜0＜n且|m|＞n＞0，即m＜-n＜0時(shí)a=0
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{0}∪{a|a＞2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性的判斷與應(yīng)用，考查計(jì)算能力．