Question

2．已知函數f（x）=e^x-k（x+1）．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）任意實數a，b，c，其中a＞0，證明：存在M，當x≥M，e^ax≥bx+c成立．

Answer 1

分析 （1）根據已知中的解析式，求導，并k值進行分類討論，可得不同情況下f（x）的單調區(qū)間；
（2）構造函數g（x）=e^ax-bx-c，則g′（x）=ae^ax-b，分類討論函數的單調性，最后綜合討論結果，可得結論．

解答 解：（1）∵函數f（x）=e^x-k（x+1）．
∴f′（x）=e^x-k，
當k≤0時，f′（x）＞0恒成立，
f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，+∞），無單調遞減區(qū)間；
當k＞0時，若f′（x）＜0，則x＜lnk，若f′（x）＞0，則x＞lnk，
此時f（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，lnk），單調遞增區(qū)間為（lnk，+∞）；
綜上所述，當k≤0時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，+∞），無單調遞減區(qū)間；
當k＞0時，f（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，lnk），單調遞增區(qū)間為（lnk，+∞）；
證明：（2）設函數g（x）=e^ax-bx-c，
則g′（x）=ae^ax-b，
∵a＞0，
∴①當b≤0時，g′（x）＞0恒成立，
函數g（x）為增函數，
故一定存在M，使當x≥M，g（x）＞0，即e^ax≥bx+c成立；
②當b＞0時，令g′（x）＞0則x＞$\frac{1}{a}ln\frac{a}$，
故在區(qū)間（$\frac{1}{a}ln\frac{a}$，+∞）上函數g（x）為增函數，
故一定存在M，使當x≥M，g（x）＞0，即e^ax≥bx+c成立；
綜上所述存在M，當x≥M，e^ax≥bx+c成立．

點評 本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，存在性問題，難度中檔．