Question

11．已知在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、E、F、N分別是A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁的中點(diǎn)．求證：
（1）EF∥平面ABCD；
（2）平面AMN∥平面EFDB．

Answer 1

分析 （1）由已知得EF∥B₁D₁，BD∥B₁D₁，從而EF∥BD，由此能證明EF∥平面ABCD．
（2）由已知得EF∥MN，MF$\underset{∥}{=}$AD，從而四邊形ADFM是平行四邊形，進(jìn)而AM∥DF，由此能證明平面AMN∥平面EFDB．

解答 證明：（1）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、E、F、N分別是A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁的中點(diǎn)，
∴EF∥B₁D₁，
∵BD∥B₁D₁，
∴EF∥BD，
∵EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（2）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、E、F、N分別是A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁的中點(diǎn)，
∴EF∥B₁D₁，MN∥B₁D₁，MF$\underset{∥}{=}$A₁D₁，A₁D₁$\underset{∥}{=}$AD，
∴EF∥MN，MF$\underset{∥}{=}$AD，
∴四邊形ADFM是平行四邊形，∴AM∥DF，
∵AM∩MN=M，DF∩EF=F，
∴平面AMN∥平面EFDB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查面面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．