【題目】設(shè)集合、均為實(shí)數(shù)集的子集,記:;

1)已知,,試用列舉法表示;

2)設(shè),當(dāng),且時(shí),曲線的焦距為,如果,,設(shè)中的所有元素之和為,對(duì)于滿足,且的任意正整數(shù)、、,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;

3)若整數(shù)集合,則稱自生集,若任意一個(gè)正整數(shù)均為整數(shù)集合的某個(gè)非空有限子集中所有元素的和,則稱的基底集,問:是否存在一個(gè)整數(shù)集合既是自生集又是的基底集?請(qǐng)說明理由.

【答案】1 2 3)存在,理由見解析

【解析】

1)根據(jù)新定義,結(jié)合已知中的集合、,可得答案;

2)曲線表示雙曲線,進(jìn)而可得,,則,結(jié)合及基本不等式,可得進(jìn)而得到答案;

3)設(shè)整數(shù)集合,其中為斐波那契數(shù)列,即,,,

①由得:,可得是自生集;

②對(duì)于任意,對(duì)于任一正整數(shù),存在集合的一個(gè)有限子集,使得,(,),再用數(shù)學(xué)歸納法證明集合又是的基底集.

解:(1)∵;

當(dāng)時(shí),

;

2)曲線,即,在時(shí)表示雙曲線,

,

,

中的所有元素之和為,

,

,且,

,

,

即實(shí)數(shù)的最大值為;

3)存在一個(gè)整數(shù)集合既是自生集又是的基底集,理由如下:

設(shè)整數(shù)集合,其中為斐波那契數(shù)列,

,,

下證:整數(shù)集合既是自生集又是的基底集,

①由得:,

是自生集;

②對(duì)于任意,對(duì)于任一正整數(shù),存在集合的一個(gè)有限子集

使得,(,),

當(dāng)時(shí),由,,知結(jié)論成立;

假設(shè)結(jié)論對(duì)時(shí)成立,

時(shí),只須對(duì)任何整數(shù)討論,

,則,,

,,

由歸納假設(shè),可以表示為集合中有限個(gè)絕對(duì)值小于的元素的和.

因?yàn)?/span>,

所以可以表示為集合中有限個(gè)絕對(duì)值小于的元素的和.

,則結(jié)論顯然成立.

,則,,

由歸納假設(shè)知,可以表示為集合中有限個(gè)絕對(duì)值小于的元素的和.

所以,當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立;

由于斐波那契數(shù)列是無(wú)界的,

所以,任一個(gè)正整數(shù)都可以表示成集合的一個(gè)有限子集中所有元素的和.

因此集合又是的基底集.

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