【題目】如圖,過橢圓: 的左右焦點分別作直線, 交橢圓于與,且.
(1)求證:當直線的斜率與直線的斜率都存在時, 為定值;
(2)求四邊形面積的最大值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】試題分析: (1)設 ,分別將坐標代入橢圓中,得出兩等式,相減得出 ,寫出的表達式,化簡得出結(jié)果; (2)設直線 的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,求出 ,算出的表達式,而 ,代入,用基本不等式求出最大值,再得出四邊形面積的最大值.
試題解析: (1)設, ,根據(jù)對稱性,有,因為, 都在橢圓上,所以, ,二式相減得, ,所以為定值.
(2)當的傾斜角為時, 與重合,舍去.
當的傾斜角不為0時,由對稱性得四邊形為平行四邊形, ,設直線的方程為,代入,得.顯然, , .
所以
設,所以, .所以.
當且僅當即時等號成立,所以.
所以平行四邊形面積的最大值為.
點睛: 本題主要考查直線與橢圓相交時的有關(guān)知識,考查學生分析問題解決問題的能力,屬于中檔題.解題技巧: 在(1)中,采用設而不求;在(2)中, 設直線 的方程比 好,因為聯(lián)立直線與橢圓方程計算量減少,還有,由韋達定理可求出.在求三角形面積最大值時,將 看成一個整體,利用基本不等式求出最大值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(Ⅰ)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程是 (為參數(shù), ),以原點為極點, 軸的正半軸為極軸,建立極坐標系.
(1)寫出的極坐標方程;
(2)若為曲線上的兩點,且,求的范圍.
(Ⅱ)已知函數(shù), .
(1) 時,解不等式;
(2)若對任意,存在,使得,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程是 (為參數(shù)),以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程是.
(Ⅰ) 求曲線與交點的平面直角坐標;
(Ⅱ) 點分別在曲線, 上,當最大時,求的面積(為坐標原點).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,且f(1)=2,f(2)=3. (I)若f(x)是偶函數(shù),求出f(x)的解析式;
(II)若f(x)是奇函數(shù),求出f(x)的解析式;
(III)在(II)的條件下,證明f(x)在區(qū)間 上單調(diào)遞減.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3)(0<a<1)
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)求函數(shù)f(x)的零點;
(3)若函數(shù)f(x)的最小值為﹣4,求a的值.
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【題目】如圖,在多面體中,底面是邊長為2的菱形, ,四邊形是矩形,平面平面.
(1)在圖中畫出過點的平面,使得平面(必須說明畫法,不需證明);
(2)若二面角是,求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知正四棱柱的底面邊長為,高為,現(xiàn)從該正四棱柱的個頂點中任取個點.設隨機變量的值為以取出的個點為頂點的三角形的面積.
(1)求概率;
(2)求的分布列,并求其數(shù)學期望
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)的定義域為[﹣1,5],則函數(shù)y=f(3x﹣5)的定義域為( )
A.
B.[ , ]
C.[﹣8,10]
D.(CRA)∩B
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形ABCD中AD∥BC,∠ADC=90°,平面ABCD外一點P在平面ABCD內(nèi)的射影Q恰在邊AD上, PA=AD=2 BC=2,CD=.
(1)若平面PQB⊥平面PAD,求證:Q為線段AD中點;
(2)在(1)的條件下,若M在線段PC上,且PA∥平面BMQ,求點M到平面PAB的距離.
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