Question

已知定點(diǎn)F（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（異于原點(diǎn)）在y軸上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PF，過點(diǎn)P作PM交x軸于點(diǎn)M，并延長(zhǎng)MP與N，且

PM

•

PF

=0，|

PN

|=|

PM

|．
（1）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（2）若A（a，0），a∈R，求使|

AN

|最小的點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)N，則M，P的坐標(biāo)可表示出，利用PM⊥PF，k_PMk_PF=-1，求得x和y的關(guān)系式，即N的軌跡方程；
（2）設(shè)x=t²，則|

AN

|=

(x-a)2+y2

，利用配方法即可求解．

解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N（x，y），則M（-x，0），P（0，

y

2

）（x＞0），
∵

PM

•

PF

=0，∴PM⊥PF，∴k_PMk_PF=-1，即

y 2

x

•

y 2

-1

=-1，
∴y²=4x（x＞0）即為所求；
（2）設(shè)x=t²，則|

AN

|=

(x-a)2+y2

=

(t2-a)2+4t2

=

5(t2- a 5 )2+ 4 5 a2

，
∴t²=

a

5

時(shí)，|

AN

|最�。�
此時(shí)得：N（

a

5

，±

2 a

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，兩個(gè)向量的數(shù)量的運(yùn)算，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．