Question

已知定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x），對(duì)任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0．
（1）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并加以證明；
（3）如果對(duì)任意的x、y∈（0，+∞），f（x²+y²）≤f（a）+f（xy）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法，先令令x=y=1，得到f（1）=0，再令令y=

1

x

，得到f（x）=-f（

1

x

），繼而得以證明，
（2）利用定義法證明即可，
（3）由（2）函數(shù)為減函數(shù)得到x²+y²≥axy，再利用基本不等式求出a的范圍．

解答： 解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
則f（1）=f（1）+f（1），
所以f（1）=0，
再令y=

1

x

，
則f（1）=f（x）+f（

1

x

）=0，
當(dāng)x＞1時(shí)，0＜

1

x

＜1．
∵f（

1

x

）＞0．
∴f（x）=-f（

1

x

）＜0
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）
∵x₁＜x₂，所以

x2

x1

＞1，則f（

x2

x1

）＜0，f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
（3）f（x²+y²）≤f（a）+f（xy）恒成立，
∴f（x²+y²）≤f（axy）恒成立，
∵f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴x²+y²≥axy，
∴0＜a≤

x2+y2

xy

=

y

x

+

x

y

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y取等號(hào)，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍（0，2]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)抽象函數(shù)，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．