Question

【題目】如圖，在四面體中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．

求證：（1）直線(xiàn)平面；

（2）平面平面．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵E,F分別是的中點(diǎn)．

∴EF是△ABD的中位線(xiàn)，∴EF∥AD，

∵EF∥面ACD，AD面ACD，∴直線(xiàn)EF∥面ACD；

（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，

∵CB=CD，F是ＢＤ的中點(diǎn)，∴CF⊥BD

又EF∩CF="F, " ∴BD⊥面EFC，

∵BD面BCD，∴面面

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)線(xiàn)面平行關(guān)系的判定定理，在面ACD內(nèi)找一條直線(xiàn)和直線(xiàn)EF平行即可，根據(jù)中位線(xiàn)可知EF∥AD，EF面ACD，AD面ACD，滿(mǎn)足定理?xiàng)l件；（2）需在其中一個(gè)平面內(nèi)找一條直線(xiàn)和另一個(gè)面垂直，由線(xiàn)面垂直推出面面垂直，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD面BCD，滿(mǎn)足定理所需條件．

解析：

（1）∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)．

∴EF是△ABD的中位線(xiàn)，∴EF∥AD，

∵EF面ACD，AD面ACD，∴直線(xiàn)EF∥面ACD；

（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，

∵CB=CD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴CF⊥BD

又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，

∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD