Question

已知函數f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=e^x-x+1．（a為常數，e為自然對數的底，e≈2.71828）
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數f（x）在區(qū)間（0，

1

2

）上無零點，求a的最小值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）a=1時求出導數f′（x），在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）函數f（x）＜0在區(qū)間（0，

1

2

）上不可能恒成立，故要使函數f（x）在區(qū)間（0，

1

2

）上無零點，只要對?x∈（0，

1

2

），f（x）＞0恒成立．即對?x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立．構造函數，利用導數求出函數的最值即可；

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x-1-2lnx（x＞0），則f′（x）=1-

2

x

．
令f′（x）＞0得x＞2；令f′（x）＜0得0＜x＜2，
故f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，2]，單調遞增區(qū)間為[2，+∞）；
（Ⅱ）∵函數f（x）＜0在區(qū)間（0，

1

2

）上不可能恒成立，
故要使函數f（x）在區(qū)間（0，

1

2

）上無零點，只要對?x∈（0，

1

2

），f（x）＞0恒成立．即對?x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立．
令l（x）=2-

2lnx

x-1

（x∈（0，

1

2

），則l′（x）=

- 2 x (x-1)+2lnx

(x-1)2

=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，
再令m（x）=2lnx+

2

x

-2，則m′（x）=

2

x

-

2

x2

=

-2(1-x)

x2

，
∵x∈（0，

1

2

），∴m′（x）＜0，
故函數m（x）在區(qū)間（0，

1

2

）上單調遞減，∴m（x）＞m（

1

2

）=2-2ln2＞0，即l′（x）＞0，
∴函數l（x）在區(qū)間（0，

1

2

）上單調遞增，∴l(xiāng)（x）＜l（

1

2

）=2-4ln2，
故只要a≥2-4ln2，函數f（x）在區(qū)間（0，

1

2

）上無零點，所以a_min=2-4ln2．

點評：該題考查利用導數研究函數的單調性、最值，考查函數的零點及函數恒成立問題，考查學生對問題的轉化能力．